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数值分析§2.2Lagrange插值多项式第二章函数近似计算的插值法1
若通过求解线性方程组(1)来求解插值多项式系数,不仅计算工作量较大,且难于得到的简朴体现式.一、代数多项式的构造:可通过找插值基函数的办法,得到插值多项式!十八世纪法国数学家Lagrange对以往的插值算法进行研究与整顿,提出了易于掌握和计算的统一公式,称为Lagrange插值公式。它的特例是线性插值公式和抛物线插值公式。Lagrange插值多项式2
1.线性插值已知两个插值点及其函数值:xx0x1f(x)f0f1插值节点对应的函数值求一次多项式使得由于方程组的系数行列式3
所以,按Gramer法则,有唯一解于是或(B-1)4
容易验证,过点(x0,f0)与(x1,f1)直线方程就是式(B-1),如图5-3所示。yxx0x1P1(x)f(x)P1(x)f(x)误差图5-35
2.抛物线插值已知三个插值节点及其函数值:f2f1f0f(x)x2x1x0x求一个二次多项式使得由于该方程组的系数行列式6
因此,有唯一解。即满足这样条件的二次多项式是唯一拟定的。满足上述条件,因此它就是所求的二次多项式。容易看出(B-2)容易验证,P2(x)是过点(x0,f0)、(x1,f1)与(x2,f2)三点的抛物线,如图5-4所示。yxx1x0x2P2(x)f(x)图5-4f0f1f27
3.n次Lagrange插值已知n+1个插值节点及其函数值:fn??????f2f1f0f(x)xn??????x2x1x0x插值节点相应的函数值求次数不超过n的多项式Pn(x)。使得8
根据线性空间的理论,并且形式不是唯一的且在不同的基下有不同的形式9
且满足插值条件:10
n+1次多项式11
且-------(4)从而12
令即由(4)式,可得13
其中-------(6)-------(5)14
其中这个改写了的Lagrange插值公式,在许多理论分析中是比较有用的。Lagrange插值公式的原则型公式:15
例1:解:16
且在例1中,如果只给出两个节点169和225,也能够作插值多项式,即1次Lagrange插值多项式,有两个插值基函数,也就是Lagrange线性插值.17
Lagrange线性插值基函数(一次插值)为Lagrange线性插值多项式为18
例2.解:Lagrange插值基函数为Lagrange线性插值多项式为19
因此20
二、插值余项满足不会完全成立因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们如何估计这个截断误差呢?21
则成立22
根据Rolle定理,再由Rolle定理,依这类推由于23
因此因此即24
定理1.Lagrange型余项n=1:n=2:25
设则26
插值基函数的性质27
Lagrange插值算法特点局限性优点:公式简洁,理论分析方便?直观;?对称;?容易编程上机等。缺点:基函数计算复杂,计算量大?每增加一种节点,插值多项式的全部系数都得重算;?计算量为。下一节提出的Newton插值法就克服了上述缺点。28
罗尔(Rolle)定理[补充资料-01]如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内具有导数,且在区间端点的函数值相等,即f(a)=f(b),那么在(a,b)内至少有一点?(a?b),使得函数f(x)在该点的导数等于零:Rolle定理的几何意义是:如果连续曲线y=f(x)的弧上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线且两端点的纵坐标相等(f(a)=f(b)),那么这弧上至少有一点C处的切线平行于x轴(见图-A)。图-AABCabyx?(1)29
Lagrange中值定理如果函数f(x)在封闭区间[a,b]上持续,在开区间(a,b)内含有导数,那么在(a,b)内最少有一点?(a?b),使得等式(2)成立。或(3)图-BABCabyx?f(b)-f(a)O[几何意义]从图-B可看出:曲线弧上的点C处的切线,平行于弦AB。[补充资料-02]30
Seeyoulater!31
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